La guitarra sabe dónde la tocaste

Toca la misma nota dos veces en la misma guitarra. Una junto al puente (esa pieza de abajo donde las cuerdas se anclan) y otra sobre la boca.

El tono es idéntico. El sonido no se parece en nada.

Eso no es una sutileza de guitarrista. Es que al pulsar en un sitio concreto borras armónicos enteros.

Y aquí conviene parar un segundo, porque de esa palabra depende todo lo demás. Cuando pulsas una cuerda no suena una frecuencia: suenan muchas a la vez. La más grave es la que tu oído reconoce como la nota. Las demás (los armónicos) van apiladas por encima, y son las que hacen que un mi de guitarra no suene igual que un mi de piano. El tono lo pone la primera. El color lo ponen todas las otras.

Pues bien: al pulsar en un sitio concreto, algunas de esas otras no llegan a existir. No las debilitas, las anulas. Y cuáles se anulan depende solo de dónde pusiste el dedo.

Lo que quiero contarte es que esa frase se puede leer al revés. Dame una grabación y te digo dónde pusiste el dedo. Y, con más dificultad de la que esperaba, algo de cómo lo pusiste.

La respuesta está en lo que falta

Una cuerda sujeta por los dos extremos solo puede vibrar en ciertas formas. El primer armónico es una panza. El segundo tiene un punto quieto en el centro. El tercero tiene dos puntos quietos. Cada armónico tiene sus nodos: sitios donde la cuerda, en esa forma concreta, no se mueve.

Y ahora la pregunta que lo resuelve todo: ¿qué pasa si tiras de la cuerda justo en el nodo de un armónico?

Que ese armónico no se entera. Estás desplazando la cuerda exactamente donde él vale cero. No puedes excitarlo.

El segundo armónico tiene su nodo en el centro exacto de la cuerda. Así que si pulsas en el centro, el segundo armónico no suena. Ni el cuarto, ni el sexto, ni ninguno de los pares, porque todos tienen un nodo ahí.

Pulsa a un cuarto de la cuerda y mueres el cuarto armónico, el octavo, el duodécimo.

La ecuación

Tira de la cuerda en la posición $p$ (como fracción de su longitud) y suéltala. Su forma inicial es un triángulo. Descomponiendo ese triángulo en armónicos, la amplitud del armónico $n$ vale:

A_n = \frac{2h}{n^2\pi^2\,p(1-p)}\,\sin(n\pi p)

Fíjate en que hay dos factores haciendo cosas distintas.

El $1/n^2$ es la envolvente: dice que los graves mandan y los agudos se apagan. Es el que da el volumen de cada armónico.

El $\sin(n\pi p)$ es el peine: es el que anula armónicos enteros, y es el único de los dos que sabe dónde pusiste el dedo. Vale cero exactamente cuando $np$ es un número entero.

De ahí sale la regla completa:

Si pulsas en $p = a/b$ , con la fracción simplificada, mueren todos los armónicos múltiplos de $b$ .

Pruébalo

Debajo tienes el cálculo funcionando. Lo que ves es el espectro, que no es más que la lista de cuánto suena cada armónico: una barra por cada uno, del más grave al más agudo. Mueve la posición y mira cómo los dientes de cobre (los armónicos ausentes) se desplazan. Y dale a Pulsar la cuerda para oírlo.

El espectro de una cuerda pulsada. En verde los armónicos presentes, en cobre los que el punto de pulsación ha borrado.

Si quieres ver de golpe de qué va todo esto, prueba el ajuste Ponticello (que es como se llama a tocar pegado al puente, ese sonido nasal y metálico) y luego Tasto, que es justo lo contrario, tocar lejos, sobre la boca, con ese sonido redondo y con cuerpo. Escucha los dos. Es el mismo tono, la misma cuerda y la misma tensión. Lo único que cambia es qué armónicos existen.

Hay huecos que no se pueden tapar

Hasta aquí he hecho trampa: he supuesto que pulsas con un punto infinitamente fino. Un dedo real tiene anchura, y el vértice del triángulo se convierte en una meseta. Rehaciendo la cuenta con una meseta de anchura $w$ :

A_n = \frac{2hL}{n^2\pi^2}\left[\frac{\sin(n\pi a)}{a} + \frac{\sin(n\pi b)}{L-b}\right], \qquad a = p - \tfrac{w}{2},\quad b = p + \tfrac{w}{2}

Ahora los huecos ya no son cero exacto: se rellenan. Con una yema de 5 mm sobre una cuerda de 650 mm, el hueco pasa de ser infinitamente profundo a unos 30 decibelios.

El decibelio es la forma de decir cuánto más flojo sin manejar ceros a la izquierda: cada 20 dB es diez veces más flojo, así que 30 dB es aproximadamente treinta veces. Un hueco de 30 dB todavía se ve sin esfuerzo. Uno de 6 se lo come el ruido de la sala.

Salvo en un sitio.

Si desarrollas esa fórmula, el relleno resulta ser proporcional a $\frac{1}{a} - \frac{1}{L-b}$ , que es la asimetría del punto de pulsación respecto a los dos extremos. Y en el centro exacto de la cuerda esa asimetría vale cero.

Lo comprobé subiendo la anchura hasta lo absurdo:

anchura del dedo	hueco en $p=1/2$	hueco en $p=1/4$
5 mm	320 dB	29,8 dB
40 mm	320 dB	~10 dB

Esos 320 dB no son una profundidad medida: son el suelo de la aritmética en doble precisión, o sea el cero exacto que el ordenador sabe escribir.

Un dedo de cuatro centímetros no roza los armónicos ausentes de la pulsación central. Y el motivo no tiene nada que ver con triángulos: el centro es un punto de simetría, los armónicos pares son antisimétricos respecto a él, y el solape de algo simétrico con algo antisimétrico es cero sea cual sea la forma.

Hay dos clases de cero. Los que salen de una coincidencia aritmética son frágiles. Los que salen de una simetría son indestructibles.

Darle la vuelta

Si el sitio decide qué falta, lo que falta delata el sitio. Eso es un problema inverso: en vez de ir de la causa al efecto, que es lo fácil, toca ir del efecto a la causa. Y se puede atacar.

La clave está en invertir por lo correcto. La anchura del dedo cambia la profundidad de los huecos, pero no su posición. Así que si mides dónde están los mínimos en vez de cuánto bajan, tienes una medida robusta: no necesitas calibrar el micrófono, ni saber con cuánta fuerza se pulsó, ni modelar cómo se apaga la nota.

Antes de programarlo escribí mi predicción y la dejé firmada: pensé que acertaría con unos 2 cm de margen.

Salió 0,33 mm. Fallé por un factor de sesenta.

Y el motivo de fallar es más interesante que el número. Yo había supuesto que la anchura del dedo emborrona la información. No lo hace, y hay una razón geométrica preciosa: el armónico $n$ tiene una longitud de onda de $2L/n$ , que en el armónico 32 son 40 milímetros. Ocho veces más ancho que el dedo. Un contacto solo empieza a notarse en armónicos con $n \gtrsim L/w$ , o sea alrededor del 130. Yo estaba mirando los primeros 32.

El dedo era invisible en la banda que estaba usando.

Donde mi programa me mintió

Y esta es la parte que de verdad me llevo.

Una cuerda no se suelta desde el reposo. El dedo resbala y le comunica velocidad, no solo posición. Son dos condiciones iniciales, y contribuyen de forma distinta: la de posición se apaga como $1/n^2$ y la de velocidad como $1/n$ .

La de velocidad cae más despacio. Así que manda en los agudos y aplana la envolvente. Puedes verlo en el simulador de arriba: sube el deslizamiento del dedo y mira cómo se inclina el espectro entero.

Cuando metí eso en los datos de prueba, mi estimador no se degradó poco a poco. Colapsó. Contestaba, con total seguridad, que había pulsado pegado al puente.

El motivo es una degeneración del modelo, y es la lección de todo el proyecto:

En ese modelo, $p$ controla dos cosas a la vez: dónde caen los ceros y con qué pendiente cae la envolvente.

Así que cuando algo aplanó la envolvente por su cuenta, el modelo lo explicó de la única forma que sabía: moviendo la posición. Con $p$ pequeño, $\sin(n\pi p) \approx n\pi p$ y la caída pasa de $1/n^2$ a $1/n$ . Es decir, un dedo que resbala y un ponticello extremo le parecen lo mismo.

No falló en la cuenta. Falló de mecanismo, y con toda la confianza del mundo.

Guitarras de verdad

Todo lo anterior invertía audio que generaba yo mismo con la misma física. Eso no es leer un sonido: es comprobar que sé deshacer mi propia cuenta.

El salto lo hice sobre 240 grabaciones reales de guitarra eléctrica con la distancia al puente anotada. Elegí eléctrica a propósito: quita la caja de resonancia, que es el factor que más miedo me daba, y a cambio mete uno nuevo pero de forma conocida, porque una pastilla (el imán que va debajo de las cuerdas y convierte su vibración en señal eléctrica) lee la cuerda en un punto concreto, y eso impone su propio peine.

Lo primero fue mirar el dato antes de construirle nada encima:

  posición     n=1    2    3    4    5    6    7    8
   110 mm       -5   -2    0   -3  -12  -20  -12  -13    <- hueco en n=6
   170 mm       -1    0   -3  -14   -4   -5  -15  -15    <- hueco en n=4

Predicho en 5,9 y 3,8. Observado en 6 y 4. El peine está ahí, en una guitarra de verdad.

Y hay un detalle que lo confirma por partida doble: comparando las tres pastillas sobre la misma pulsación, todas comparten el hueco del armónico 4 (ese es el de la pulsación) pero con la pastilla del mástil se hunde a −28 dB y aparece otro en el 8. Porque el mástil está a unos 160 mm del puente y los dos peines se solapan.

Eso permitió una comprobación que nadie me regaló. Las distancias estaban anotadas, pero la longitud de la guitarra no. Así que la dejé como incógnita:

L_{\text{estimada}} = 638 \pm 32~\text{mm} \qquad\text{(real: 647,7 mm en una Fender)}

Recuperé, solo del sonido, una medida física de un instrumento que no he visto nunca.

El error que solo un paper podía destapar

Había algo raro: funcionaba en la cuerda más aguda y fallaba en las graves. ¿Por qué justo ahí?

La respuesta estaba en un artículo de 2022 que mide la inarmonicidad de cuerdas reales. Una cuerda no es ideal: tiene rigidez, y sus armónicos no caen en múltiplos exactos de la fundamental sino en

f_n = n f_0\sqrt{1 + Bn^2}

Las cuerdas graves entorchadas (las gordas, las que llevan un hilo enrollado alrededor del alma) tienen $B \approx 10^{-4}$ , diez veces lo que yo había supuesto. Con ese valor, el armónico 40 se desplaza 128 cents.

El cent es la centésima parte de un semitono, o sea de la distancia entre dos teclas seguidas de un piano. Así que 128 cents significa que ese armónico no está donde yo lo buscaba: está desafinado más de una tecla entera. Y mi ventana de búsqueda medía 21 cents.

A las cuerdas graves se les salían los armónicos de la ventana. No era un problema de inversión: era de medida.

Estimando $B$ en cada grabación, el error final quedó en 2,05 mm de mediana, con el 78 % de los casos por debajo de un centímetro.

Para situarlo: el trabajo de referencia sobre este problema reporta 2,91 mm. No es una comparación de tú a tú (otra guitarra, otro montaje, otro protocolo de evaluación, y ellos además miden con la cadena de efectos puesta) así que no voy a decir que lo he mejorado. Lo que sí dice ese número es que estamos en el mismo orden de magnitud, y eso era exactamente lo que quería saber: que el método aguanta fuera del laboratorio.

Y hay una comprobación que me gusta más que el milímetro. Las $B$ que salieron del ajuste reproducen solas la tabla del artículo de 2022, sin que nadie se las diera: del orden de $10^{-4}$ en la sexta y de $10^{-5}$ en la prima. Eso no se puede ajustar por casualidad.

¿Y el cómo?

Dónde es media pregunta. La otra media es cómo: con la uña o con la yema, con qué anchura.

Y también se puede sacar, precisamente por lo que acabamos de ver. La posición decide dónde caen los ceros. La anchura no los mueve: solo inclina la envolvente. Entran por puertas distintas, así que se pueden separar. Amplié la búsqueda a dos dimensiones y listo.

Sobre amplitudes limpias sale perfecto. Error cero en las dos, en las veinticuatro combinaciones que probé.

Y eso no vale nada.

Con dos parámetros, sin ruido y con la respuesta dentro de la rejilla que estás barriendo, el ajuste siempre encuentra la respuesta exacta por débil que sea la señal. No es una medida: es una tautología. Solo dice que no me he equivocado al programarlo.

La prueba de verdad es con ruido:

anchura real	error en la posición	error en la anchura
1 mm	1,6 mm	9 mm
5 mm	1,6 mm	6 mm
10 mm	1,0 mm	4 mm
20 mm	0,7 mm	2 mm
40 mm	1,0 mm	2 mm

Fíjate en la columna de la izquierda: la posición se mantiene alrededor del milímetro pase lo que pase. Y ahora la de la derecha. Con anchuras pequeñas, el error es más grande que la cosa que intento medir.

Una yema de verdad mide unos cinco milímetros. Justo en el borde.

Y aquí se me cae otra predicción

Antes había razonado que la anchura solo deja huella en los armónicos con $n \gtrsim L/w$ . De ahí se sigue algo muy razonable: si miro más armónicos, debería poder medir anchuras más finas. El umbral tendría que bajar como $L/n_{max}$ .

Lo medí:

  armonicos    umbral medido    lo que predecia la formula
      20            4 mm                 32 mm
      40            6 mm                 16 mm
      80            7 mm                  8 mm

No baja. Sube.

Y el motivo, cuando lo entiendes, es de los que se te quedan. Mi fórmula decía cuándo la anchura deja huella en una señal limpia, y en una señal limpia no hay umbral ninguno, como acabábamos de ver. No decía nada sobre si esa huella sobrevive al ruido.

Los armónicos altos suenan más flojo, porque la envolvente cae. El ruido de fondo, en cambio, es más o menos el mismo en todos. Así que cada armónico que añado por arriba llega peor de señal que el anterior, y mi ajuste, que es un mínimos cuadrados de toda la vida, los pesa a todos igual.

Estaba diluyendo lo bueno con lo malo y llamándolo “usar más datos”.

Y en la guitarra de verdad

Sobre las 240 grabaciones, la anchura estimada sale en 20 mm de mediana.

Que es un disparate para una púa. Pero resulta que no estoy midiendo la púa: la bobina de una pastilla tiene unos 25 mm de ancho, y también promedia la cuerda a lo largo de ese tramo. Es decir, el filtro que estoy midiendo es el de la pastilla, y la púa está escondida debajo.

No es la respuesta que buscaba. Pero que salga 20 donde la física conocida pone 25 dice que el estimador está midiendo algo real, aunque no sea lo que yo quería.

La frase que resume la semana entera

Mira las dos columnas de la tabla de arriba otra vez. La posición aguanta. La anchura no. Y no es casualidad:

El dónde se mide bien porque está escrito en las posiciones de los huecos. El cómo se mide mal porque está escrito en los niveles.

Las posiciones sobreviven al ruido, a no saber la ganancia, al micrófono que uses y a cómo se apague la nota. Los niveles no sobreviven a nada.

Si te llevas una sola idea de todo esto, que sea esa.

Esto no va de guitarras

El patrón (leer una posición en lo que falta) está por todas partes.

Sabemos de qué está hecho el Sol por las longitudes de onda que faltan en su espectro. El helio se descubrió así en 1868, veintisiete años antes de aislarlo en la Tierra: un elemento entero encontrado en un hueco.

Las reflexiones prohibidas en un patrón de difracción revelan la simetría de un cristal. Matemáticamente es una regla de selección, que es exactamente lo que es $\sin(n\pi p) = 0$ .

Los huecos de Kirkwood en el cinturón de asteroides son órbitas vacías en resonancia con Júpiter. La ausencia codifica la dinámica.

Y el más bonito: después de un terremoto muy grande, la Tierra entera suena como una campana durante días. La amplitud con la que se excita cada modo (cada una de las formas en que el planeta entero puede vibrar, que son los armónicos de la Tierra) depende de dónde se rompió. Un foco en el nodo de un modo no lo excita, igual que no excitas el segundo armónico pulsando en el centro de la cuerda. Es la misma ecuación en una esfera elástica.

Con un detalle que cierra el círculo. En sismología, esa amplitud la controlan la posición de la fuente y la del receptor: el sismómetro también está en algún sitio y también pesa cada modo. Es literalmente mi problema de la pastilla. Y por eso, con una sola observación, fuente y receptor no se pueden separar.

Yo no lo resolví con dos sensores, sino con ocho pulsaciones distintas compartiendo una misma pastilla. La información no la da el número de sensores: la da el número de configuraciones independientes donde una incógnita cambia y la otra no.

El océano es una cuerda puesta de pie

El agua entre la superficie y el fondo también es un dominio acotado, y también tiene modos. Localizar un barco o un submarino con hidrófonos se hace comparando el campo medido contra los modos calculados de esa guía de ondas, una técnica que se llama matched field processing y que arranca con Bucker en 1976.

Y aquí viene lo que no me esperaba: la profundidad de la fuente decide con qué peso se excita cada modo, igual que el punto de pulsación en la cuerda. Una fuente a la profundidad del nodo de un modo no lo excita. En la literatura está dicho con estas palabras: la amplitud del modo 2 es pequeña porque la fuente está cerca de un nulo del modo 2.

Es mi ecuación con la cuerda puesta de pie y midiendo cientos de metros. En agua somera se reportan errores de en torno al 2 % en distancia y al 10 % en profundidad.

Y el gemelo: escuchar una máquina rota

Golpeas una pieza y la escuchas. Si tiene una grieta, sus modos cambian. De ahí se puede localizar el daño, y es una disciplina entera: monitorización de salud estructural.

Es mi problema con la incógnita cambiada de sitio. Yo conozco la estructura y busco la excitación; ellos conocen la excitación y buscan el defecto.

Y tienen mi mismo nodo. Si la grieta cae justo en el nodo de un modo, la frecuencia de ese modo no cambia, porque ahí ese modo no almacena energía de deformación. Igual que mi dedo en el nodo no excitaba el armónico. Cawley y Adams montaron en 1979 un método entero sobre eso: comparar cuánto se mueve cada frecuencia, porque cada modo “ve” la grieta con un peso distinto según su forma en ese punto.

Y hay un resultado que me dio envidia por lo limpio: una grieta desplaza las posiciones de los nodos, y de ese desplazamiento se saca dónde está.

Con la misma moraleja que la mía, además. La revisión canónica del campo dice que los desplazamientos de frecuencia por sí solos no bastan para localizar el daño: hace falta la forma del modo. Los números sueltos no. Las posiciones sí.

Una que parece de la familia y no lo es

Un TAC no es esto. Reconstruye un mapa de densidades invirtiendo integrales de línea (la transformada de Radon) y ahí no hay dominio acotado, ni modos, ni nada que se parezca a un armónico ausente. Es otra familia entera, y decirlo también sirve: no todo problema inverso comparte maquinaria.

Pero hay una que sí roza, y es inquietante. Cuando se localiza actividad cerebral desde electrodos en el cuero cabelludo, el problema no tiene solución única, y eso se sabe desde Helmholtz en 1853. Peor aún: existen las llamadas fuentes silenciosas, configuraciones de corriente que producen campo externo exactamente cero. En el modelo esférico de cabeza, toda fuente radial es magnéticamente invisible.

Hay actividad cerebral que, por pura geometría, no deja huella fuera. No es que el aparato no llegue: es que no hay nada que medir.

Eso no es lo mismo que mis armónicos (allí no hay peine ni modos indexados) pero el mecanismo abstracto es idéntico: existen configuraciones que el instrumento no puede ver, y no por falta de precisión, sino por estructura.

El límite

En 1966 Mark Kac preguntó si se puede oír la forma de un tambor. Es el hermano exacto de este problema, dado la vuelta: yo conozco la forma y busco la fuente; él conoce la fuente y busca la forma.

La respuesta llegó en 1992, y fue que no. Gordon, Webb y Wolpert construyeron dos tambores con formas distintas que suenan exactamente igual.

Pero el matiz es lo mejor de todo: sí puedes oír el área, y el perímetro. Hay cosas que el sonido te dice siempre y otras que no te va a decir nunca. Saber de qué lado cae tu pregunta es media respuesta.

Lo que queda

Todo esto lo he hecho sin caja de resonancia, sobre una guitarra eléctrica enchufada directamente.

Y resulta que lo que este proyecto ha demostrado es que el punto débil de todo el método es la envolvente. Una caja de resonancia es, literalmente, un aparato para deformar envolventes.

Fui a buscar cuánto estropea eso la estimación. No lo ha medido nadie. La literatura describe el acoplamiento entre la tapa y el aire, pero no su efecto sobre esta pregunta.

Así que queda un hueco, y de los buenos. Hace falta una guitarra acústica y una regla.

De este proyecto me llevo tres cosas, y ninguna es el resultado.

Que perder una predicción firmada enseña más que acertarla, y solo funciona si la firmas antes.

Que un resultado que no empeora cuando empeoras las condiciones no es un resultado: es un error en el código. Tiré del hilo dos veces y las dos veces había uno.

Y la que me va a durar: un parámetro que controla dos cosas a la vez te va a mentir, y lo hará con la misma cara con la que te dice la verdad.

Esta es la segunda entrega de una serie donde ataco un problema de física por semana: predicción firmada antes de calcular, errores catalogados aparte y la literatura al final, nunca antes. El problema anterior fueron los gatos, y salió en dos partes: por qué una hormiga no se rompe y por qué no caen mejor desde más alto.

Referencias

C. Traube, J. O. Smith III. Estimating the Plucking Point on a Guitar String. DAFx-00, 2000.
Z. Mohamad, S. Dixon, C. Harte. Estimating Pickup and Plucking Positions of Guitar Tones and Chords with Audio Effects. DAFx-17, 2017.
J. D. Tillman. Response Effects of Guitar Pickup Position and Width.
N. G. Horton, T. R. Moore. Modeling the magnetic pickup of an electric guitar. Am. J. Phys. 77(2), 2009.
C. J. Murray, S. B. Whitfield. Inharmonicity in plucked guitar strings. Am. J. Phys. 90(7), 2022.
H. P. Bucker. Use of calculated sound fields and matched-field detection to locate sound sources in shallow water. J. Acoust. Soc. Am. 59(2), 1976.
P. Cawley, R. D. Adams. The Location of Defects in Structures from Measurements of Natural Frequencies. J. Strain Analysis 14(2), 1979.
M. Dilena, A. Morassi. Identification of crack location in vibrating beams from changes in node positions. J. Sound Vib. 255, 2002.
S. W. Doebling et al. Damage Identification and Health Monitoring… from Changes in their Vibration Characteristics. Los Alamos LA-13070-MS, 1996.
M. Hämäläinen et al. Magnetoencephalography. Rev. Mod. Phys. 65(2), 1993.
M. Kac. Can One Hear the Shape of a Drum? Am. Math. Monthly 73(4), 1966.
C. Gordon, D. Webb, S. Wolpert. One cannot hear the shape of a drum. Bull. AMS 27(1), 1992.